Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為等值點．例如點

（1，1），(－2，－2)，(，)，…，都是等值點．已知二次函數的

圖象上有且只有一個等值點 ，且當m≤x≤3時，函數 的最小值為－9，最大值為－1，則m的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】根據等值點的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根為=，從而求得a=-2，c=-，所以函數y=ax2+4x+c-=-2x2+4x-3，根據函數解析式求得頂點坐標，根據y的取值，即可確定x的取值范圍．

令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，
由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根為=，
解得a=-2，c=-．
故函數y=ax2+4x+c-=-2x2+4x-3=-2（x-1）2-1，
如圖，該函數圖象頂點為（1，-1），

由于函數圖象在對稱軸x=1左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，
且當m≤x≤3時，函數y=-2x2+4x-3的最小值為-9，最大值為-1，
∴-1≤m≤1，
故答案為：-1≤m≤1．