Question

已知：二次方程m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0有兩個不相等的實數根，且這兩個根分別等于某個直角三角形兩個銳角的正弦值．則m=

 

．

Answer 1

分析：根據一元二次方程的根的判別式，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．再解出一元二次方程的兩個根，再根據方程m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的正弦，可以得到(

m-1

m

)2+(

m-2

m

)2=1（m≠0），進而解出m的值即可得到答案．

解答：解：∵a=m²，b=-m（2m-3），c=（m-1）（m-2），方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=[-m（2m-3）]²-4m²（m-1）（m-2）=m²＞0，
又∵二次項系數不為0，
∴m≠0．
∵m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0，
∴x₁=

m-1

m

，x₂=

m-2

m

，
∵方程m²x²-m（2m-3）x+（m-1）（m-2）=0的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的正弦，
∴(

m-1

m

)2+(

m-2

m

)2=1（m≠0），
∴

m2-2m+1

m2

+

m2-4m+4

m2

=1，
∴m²-6m+5=0
∴m₁=1（不合題意，舍去），m₂=5．
故答案為：5．

點評：本題主要考查一元二次方程根的情況與判別式△的關系，一元二次方程的解法、互余兩角的三角函數關系．掌握基礎知識的綜合應用．