Question

【題目】類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數．
（2）在探究“等對角四邊形”性質時：
①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發現CB=CD成立．請你證明此結論；
②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．
（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

∵等對角四邊形ABCD，∠A≠∠C，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣70°﹣80°﹣80°=130°；

（2）

解：①如圖2，

連接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD，

②不正確，

反例：如圖3，∠A=∠C=90°，AB=AD，

但CB≠CD，

（3）

解：（Ⅰ）如圖4，當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴AE=10，

∴DE=AE﹣AD=10﹣4=6，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2 ，

∴AC= = =2

（Ⅱ）如圖5，當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，

∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，

∴AE=2，DE=2 ，

∴BE=AB﹣AE=5﹣2=3，

∵四邊形BFDE是矩形，

∴DF=BE=3，BF=DE=2 ，

∵∠BCD=60°，

∴CF= ，

∴BC=CF+BF= +2 =3 ，

∴AC= = =2

【解析】（1）利用“等對角四邊形”這個概念來計算．（2）①利用等邊對等角和等角對等邊來證明；②舉例畫圖；（3）（Ⅰ）當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，利用勾股定理求解；（Ⅱ）當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，求出線段利用勾股定理求解．