Question

原題：“如圖1，正方形ABCD中，BG是外角∠CBH的角平分線，E是AB上一點（不與A、B重合），EF⊥DE交BG于F，求證：DE=EF．”
證明的思路是：在AD上取一點M，使AM=AE，連接ME，由AAS可得△DME≌△EBF．
閱讀了以上材料后，請你解答下列問題：
（1）如圖2，如果將原題中的條件“正方形”改為“正三角形”，“EF⊥DE”改為“∠DEF=60°”，其它條件不變，原題的結論還成立嗎？如果成立請給出正面，如果不成立請給出反例．
（2）如果將原題中的條件“正方形”改為“正五邊形”，請你模仿原題寫出一個真命題，并在圖3中畫出相應的圖形．

Answer 1

解：（1）原結論還成立，即DE=EF．
在AD上取一點M，使AM=AE，連接ME，
∵△ABD是等邊三角形，
∵∠A=60°，AM=AE，∴∠AEM=∠AME=60°
∴∠DME=60°+60°=120°，
∵∠DBH=120°，BG平分∠DBH，∴∠EBF=60°+60°=120°，
∴∠DME=∠EBF
∵∠DEF=60°，
∴∠DAE=∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE=∠FEB，
又∵DM=EB，∴△MDE≌△BEF，∴DE=EF．


（2）如圖，正五邊形ABCMN中，E在AB上，F在外角
∠CBH的角平分線上，∠NEF=108°，那么NE=EF．
證明：在AD上取一點M，使AM=AE，連接ME，
在正五邊形ABCMN中，
∵∠A=×180=108°，AM=AE，∴∠AEM=∠AME==36°，
∴∠NME=108°+36°=144°，
∵∠CBH=180-108=72°，BG平分∠CBH，∴∠EBF=108°+36°=144°，
∴∠DME=∠EBF
∵∠NEF=108°，
∴∠DAE=∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE=∠FEB，
又∵DM=EB，∴△MDE≌△BEF，∴DE=EF．
分析：（1）在AD上取一點M，使AM=AE，連接ME，根據△MDE≌△BEF（ASA）來推出結論：DE=EF；
（2）在AD上取一點M，使AM=AE，連接ME，求出正五邊形ABCMN的內角等于108°（×180°），在等腰三角形AME中求得∠AEM=∠AME==36°，再根據三角形的外角得∠NME=108°+36°=144°，BG是外角∠CBH的角平分線，所以很容易求得∠DME=∠EBF，∵∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，∴∠ADE=∠FEB，到這里，證明△MDE≌△BEF（ASA）就不難了，再根據全等三角形的性質證明DE=EF．
點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、多邊形的內角與外角以及正方形的性質．