Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式．
（2）D是第一象限內拋物線上的一個動點（與點C、B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連結BD、CD設點D的橫坐標為m，△BCD的面積為S．
①求S關于m的函數關系式及自變量m的取值范圍．
②當m為何值時，S有最大值，并求這個最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，

∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

又∵點C（0，3）在拋物線圖象上，

∴3=a×（0+1）×（0﹣3），解得：a=﹣1．

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

故答案為：y=﹣x2+2x+3．

（2）解：①設直線BC的函數解析式為y=kx+b．

∵直線BC過點B（3，0），C（0，3），

∴ ，解得： ，

∴y=﹣x+3．

設D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴DE=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

∴S= OBDE= （﹣m2+3m）=﹣ m2+ m，（0＜m＜3）

②S=﹣ m2+ m=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當m= 時，S有最大值，最大值S=

【解析】（1）因為拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）因為直線BC過點B（3，0），C（0，3），用待定系數法求出直線的解析式，根據△BCD的面積為S，求出s與m的關系，得到m的值，求出S的最大值.