Question

已知關于x的兩個一元二次方程：
方程：　 ①
方程：　　 ②
（1）若方程①、②都有實數根，求k的最小整數值；
（2）若方程①和②中只有一個方程有實數根；則方程①，②中沒有實數根的方程是______（填方程的序號），并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若k為正整數，解出有實數根的方程的根．

Answer 1

解：（1）∵△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+）=4k-25≥0，
∴k≥，
∵△₂=（k+2）²-4（2k+）≥0，
∴k²-4k-5≥0，（k-5）（k+1）≥0，
∴k≥5或k≤-1，
∴k≥，
∴k的最小整數值為7；

（2）當方程①有實數根，k≥，則方程②有實數根；
∵方程①和②中只有一個方程有實數根，
當方程②有實數根，方程①不一定實數根；
故答案為①；

（3）∵k為正整數，
且5≤k＜，
∴k=5或6，
當k=5時，方程②變形為x²-7x+=0，即（x-）²=0，
∴x₁=x₂=；
當k=6，方程②變形為x²-8x+=0，
△=64-4×=7，
∴x=
∴x₁=，x₂=．
分析：（1）根據判別式的意義得到△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+）=4k-25≥0，則有k≥；△₂=（k+2）²-4（2k+）≥0，則k≥5或k≤-1，由于方程①、②都有實數根，于是有k≥，則k的最小整數值為7；
（2）當k≥5或k≤-1時，方程②有實數根，此時不一定滿足k≥，則若方程①和②中只有一個方程有實數根；則方程①和②中只有一個方程有實數根，只有方程②有實數根，方程①不一定實數根；
（3）由于方程②有實數根，方程①沒有實數根，則5≤k＜，得到k=5或6，然后把它們分別代入方程，利用因式分解法或求根公式法解方程即可．
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了解一元二次方程．