Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連結DP交AC于點Q．

(1)試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；

(2)當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

(3)若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

(1)證明：△ADQ≌△ABQ；

(2)以A為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點Q作QE⊥y軸于點E，QF⊥x軸于點F．

AD×QE＝S_{正方形ABCD}＝   ∴QE＝

∵點Q在正方形對角線AC上  ∴Q點的坐標為

∴過點D(0，4)，兩點的函數關系式為：y＝－2x＋4，當y＝0時，x＝2，即P運動到AB中點時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

(3)若△ADQ是等腰三角形，則有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD

①當點P運動到與點B重合時，由四邊形ABCD是正方形知  QD＝QA此時△ADQ是等腰三角形；

②當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；

③如圖，設點P在BC邊上運動到CP＝x時，有AD＝AQ

∵AD∥BC  ∴∠ADQ＝∠CPQ．

又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，

∴∠CQP＝∠CPQ．

∴CQ＝CP＝x．

∵AC＝，AQ＝AD＝4．

∴x＝CQ＝AC－AQ＝－4．

即當CP＝－4時，△ADQ是等腰三角形．