Question

已知a、b是正數，且a+b=2，則的最小值=    ．

Answer 1

【答案】分析：由a+b=2，用a表示出b，將表示出的b代入所求的式子中，得到關于a的表達式，作出A關于直線l的對稱點C，連接BC交直線l與點P，此時利用兩點之間線段最短可得AP+PB=BC為最短，從而利用勾股定理，將表達式轉化為直角三角形兩斜邊AP、BP的和，即BC的長，即為所求式子的最小值，故在直角三角形BCF中，由BF和CF的長，利用勾股定理求出BC即可得到結果．
解答：解：∵a+b=2，
∴b=2-a，代入，
得：，
構造如下圖形，如圖，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
作出A關于直線l的對稱點C，連接BC與直線l交于點P，此時AP+PB最短．
延長BD，過C作CF垂直于BC的延長線，垂足為F，
設PD=a，可得ED=2-a，
在Rt△AEP中，根據勾股定理得：
AP=，BP=，
則=AP+BP，
當B、P、C三點共線時，因為直線l為線段AC的垂直平分線，
則AP+BP=CP+PB=BC，此時BC的長即為所求式子的最小值，
此時在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，
由勾股定理可求得BC==，
則的最小值為．
點評：此題主要考查線段公理的應用，以及構造直角三角形，用勾股定理求解的策略，勾股定理的最大貢獻就是溝通“數”與“形”的關系，它的驗證和運用都體現了數形結合的思想，運用勾股定理往往可以順利解決某些具有平方特征的代數問題．本題的思路為：構造相應的圖形，利用對稱知識將所求的表達式轉化為線段BC的長度，進而利用勾股定理來解決問題，充分體現了轉化思想及數形結合思想．