Question

先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：
材料：過拋物線y=ax²（a＞0）的對稱軸上一點（0，-

1

4a

）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點P到點F（0，

1

4a

）的距離與P到l的距離一定相等，我們將點F與直線l分別稱作這拋物線的焦點和準線，如y=x²的焦點為（0，

1

4

）．
問題：若直線y=kx+b交拋物線y=

1

4

x²于A、B、AC、BD垂直于拋物線的準線l，垂直足分別為C、D（如圖）．
①求拋物線y=

1

4

x²的焦點F的坐標；
②求證：直線AB過焦點時，CF⊥DF；
③當直線AB過點（-1，0），且以線段AB為直徑的圓與準線l相切時，求這條直線對應的函數解析式．

Answer 1

分析：①將a=

1

4

代入題中給出的焦點坐標公式中即可．
②根據焦點的概念可知：AC=AF，BF=BD，如果連接CF、DF，那么CF必平分角AFO（可用三角形全等證出）．同理可求得DF平分∠BFO，由此可得證．
③可連接圓心與切點，設圓心為M，切點為N，那么MN就是梯形ACDB的中位線，因此MN=

1

2

（AC+BD）=

1

2

AB，根據焦點的定義知：AF=AC，BF=BD，因此AF+BF=AB，也就是說直線AB恰好過焦點F，那么可根據F的坐標（①已求得）和已知的點（-1，0）的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．

解答：①解：F（0，1）

②證明：∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC
又∵AC∥OF，
∴∠ACF=∠CFO，
∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；
而∠AFO+∠BFO=180°
∴∠CFO+∠DFO=

1

2

（∠AFO+∠BFO）=90°；
∴CF⊥DF．

③解：設圓心為M，且與l的切點為N，連接MN；
∴MN=

1

2

AB
在直角梯形ACDB中，M是AB的中點．
∴MN=

1

2

（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．
∴MN=

1

2

（AF+BF）
∴AF+BF=AB
∴AB過焦點F（0，1）．
又AB過點（-1，0）
∴

b=1 -k+b=0

解得

k=1 b=1

∴AB對應的函數解析式為y=x+1．

點評：本題為閱讀類題，解題的關鍵是弄清材料中各定義的含義，然后結合自己掌握的知識進行求解．