Question

小明在復習數學知識時，針對“求一元二次方程的解”，整理了以下的幾種方法，請你按有關內容補充完整：

復習日記卡片

內容：一元二次方程解法歸納                                時間：2007年6月×日

舉例：求一元二次方程x2-x-1=0的兩個解

方法一：選擇合適的一種方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程：x2-x-1=0． 解：

方法二：利用二次函數圖象與坐標軸的交點求解如圖所示，把方程x2-x-1=0的解看成是二次函數y=   的圖象與x軸交點的橫坐標，即x1，x2就是方程的解．

方法三：利用兩個函數圖象的交點求解 （1）把方程x2-x-1=0的解看成是一個二次函數y=   的圖象與一個一次函數y=   圖象交點的橫坐標； （2）畫出這兩個函數的圖象，用x1，x2在x軸上標出方程的解．

Answer 1

分析：本題是用二次函數看一元二次方程的一個典型題型，通過三種方法的解題發現，一元二次方程即可以用常規方法解，又可以函數的角度解；用函數方法解題，也有多種方法，如可看作求函數y=x²-x-1圖形與x軸交點的橫坐標，也可看作求一個一次函數與一個二次函數圖象的交點橫坐標．

解答：解：（1）∵a=1，b=-1，c=-1，
∴b²-4ac=5．
∴x=

1± 5

2

．
∴原方程的解是x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

；

（2）x²-x-1；

（3）x²與x+1或x²-1與x等．

點評：是一道“課題學習”，采用“學生復習日記卡片”的形式，針對一元二次方程解法的多樣性的探究，在考查學生解題思維能力廣闊性、深刻性的同時，還給學生提供了數學學習方法的樣例，是對新教材現狀難以考查學生學習過程、方法的一種新嘗試．本題將代數、幾何解法有機融合，借助數形結合，在考查學生學習方法探究歸納的同時，引導學生反思性學習，是一道亮點題型．
[常見錯誤]
方法一：沒有選擇最優的方法，能直接用公式法而去用配方法求解，以至配方時移項、開平方的錯誤．
方法二、三：對利用圖象法求方程的近似解沒有掌握，無法將一元二次方程轉化為函數的圖象的交點求解．方法二中填寫或的錯誤結果；方法三隨意拆成二個函數，但不能轉化為規定的方程．