Question

【題目】如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，過點C的切線交AD的延長線于點E，且AE⊥CE，連接CD．

（1）求證：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，求證DC=BC可以證明∠CAD=∠BAC，進而證明；
（2）AB=5，AC=4，根據勾股定理就可以得到BC=3，易證△ACE∽△ABC，求出EC和ED即可．

（1）證明：連接OC·

∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA

∵CE是⊙O的切線

∴∠OCE＝90°

∵AE⊥CE

∴∠AEC＝∠OCE＝90°

∴OC∥AE

∴∠OCA＝∠CAD ∴∠CAD＝∠BAC

∴

∴DC＝BC；

（2）∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB＝90°

∴·

∵∠CAE＝∠BAC ∠AEC＝∠ACB＝90°

∴△ACE∽△ABC

∴，∴，∴

∵DC＝BC＝3

∴，

∴.