Question

【題目】如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB長為2．

（1）求點O到AB的距離．

（2）若點C為⊙O上一點（不與點A，B重合），求∠BCA的度數．

Answer 1

【答案】（1）點O到AB的距離為；（2）∠BCA的度數為30°或150°．

【解析】

試題分析：（1）過點O作OC⊥AB于點C，證出△OAB是等邊三角形，繼而求得∠AOB的度數，然后由三角函數的性質，求得點O到AB的距離；

（2）證出△ABO是等邊三角形得出∠AOB=60°． 再分兩種情況：點C在優弧上，則∠BCA=30°；點C在劣弧上，則∠BCA=（360°﹣∠AOB）=150°；即可得出結果．

解：（1）過點O作OD⊥AB于點D，連接AO，BO．如圖1所示：

∵OD⊥AB且過圓心，AB=2，

∴AD=AB=1，∠ADO=90°，

在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，

∴OD==．

即點O到AB的距離為．

（2）如圖2所示：

∵AO=BO=2，AB=2，

∴△ABO是等邊三角形，

∴∠AOB=60°．

若點C在優弧上，則∠BCA=30°；

若點C在劣弧上，則∠BCA=（360°﹣∠AOB）=150°；

綜上所述：∠BCA的度數為30°或150°．