Question

如圖，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC、AB上，高AD與HG的交點為M.

（1）求證：；
（2）求這個矩形EFGH的周長.

Answer 1

（1）根據矩形的性質可得EF∥GH，即可證得△AHG∽△ABC，從而得到結論；（2）72cm

試題分析：（1）根據矩形的性質可得EF∥GH，即可證得△AHG∽△ABC，從而得到結論；
（2）由（1）得，設HE=x，則HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x，即可得到關于x的方程，解出x的值，在根據矩形的周長公式求解即可.
（1）∵四邊形EFGH為矩形
∴EF∥GH
∴∠AHG=∠ABC
又∵∠HAG=∠BAC
∴△AHG∽△ABC
∴；  
（2）由（1）得，設HE=x，則HG=2x，
AM=AD-DM=AD-HE=30-x
可得
解得x=12，2x="24"
所以矩形EFGH的周長為2×（12+24）=72cm.
點評：相似三角形的應用是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.