Question

按照下面的步驟做一做： (1) 任意寫一個四位數 (2) 交換這個四位數的千位數字與十位數字、百位數字與個位數字，又得到一個數 (3) 求這兩個數的和 再寫幾個四位數重復上面的過程，這些和有什么規律？這個規律對任意一個四位數部成立嗎？請說明理由

Answer 1

答案：1．1021;
解析：

(2)

交換行位數字與十位數字、百位數字與個位數字，得一個數是2110

(3)

1021＋2110＝3131＝31×101 　　再寫一個四位數5834，按要求所得數為3458，這兩個數的和為5834＋3458＝9292＝92×101 　　再寫幾個四位數，發現這兩個數的和都含有因數101，也就是這兩個數的和是101的倍數．所以我們發現下面的規律：任意一個四位數，交換它的千位數字與十位數字、百位數字與個位數字，又得到一個數，那么這兩個數的和是101的倍數．顯然這個規律對任意一個四位數都成立，理由是： 　　設這個四位數的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，則這個四位數為1000a＋100b＋10c＋d．交換千位數字與十位數字，百位數字與個位數字，所得的數為1000c＋100d＋10a＋b 　　這兩個數的和是：(1000a＋100b＋10c＋d)＋(1000c＋100d＋10a＋b)＝1000a＋100b＋10c＋d＋1000c＋100d＋10a＋b＝1010a＋101b＋1010c＋101d＝1010(a＋c)＋101(b＋d)＝10×101(a＋c)＋101(b＋d)＝101(10a＋10c＝b＋d)．所以，這兩個數的和是101的倍數。 　　解題指導：用字母表示四位數可以寫成1000a＋100b＋10c＋d，再根據題意交換位置表示成1000c＋100d＋10a＋b，最后求和觀察規律。