Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠CAB的角平分線AD交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠CAB=60°，DE=3，求AC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)6.

【解析】

（1）連接OD，由已知得∠ODA=∠OAD=∠DAC，從而OD∥AE，由此能證明DE是圓O的切線．

（2）連接BD，則∠ADB=90°，由角平分線的定義可求∠CAD=∠DAB=30°，盡而可求DE、AD、AB的長，連接OC，可證AC=OA=OC=6．

證明：（1）連接OD，如圖，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接BD，則∠ADB=90°，

∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB=30°，

∵DE=3，

∴AD=6，

∴AB=12，

連接OC，則OC=OA=6，

∵∠CAB=60°，

∴AC=OA=OC=6．