Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）求cos∠E的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；

（2）根據∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉化為求cos∠CBG，進而轉化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題．

試題解析：（1）如圖，

連接OD、CD．

∵BC是直徑，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC．

∴D是AB的中點．

∵O為CB的中點，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切線．

（2）連BG．

∵BC是直徑，

∴∠BDC=90°．

∴CD==8．

∵ABCD=2S△ABC=ACBG，

∴BG=．

∴CG=．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E=∠CBG，

∴cos∠E=cos∠CBG=．