Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點B、C，經過B、C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線x=2．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接PB、PC，求△PBC的面積；

（3）連接AC，在x軸上是否存在一點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在兩點Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數的對稱性，已知對稱軸的解析式以及B點的坐標，即可求出A的坐標，利用拋物線過A、B、C三點，可用待定系數法來求函數的解析式

（2）首先利用各點坐標得出得出△PBC是直角三角形，進而得出答案；

（3）本題要先根據拋物線的解析式求出頂點P的坐標，然后求出BP的長，進而分情況進行討論：

①當，∠PBQ=∠ABC=45°時，根據A、B的坐標可求出AB的長，根據B、C的坐標可求出BC的長，已經求出了PB的長度，那么可根據比例關系式得出BQ的長，即可得出Q的坐標．

②當，∠QBP=∠ABC=45°時，可參照①的方法求出Q的坐標．

③當Q在B點右側，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況是不成立的，綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點B，∴當y=0時，x=3，∴點B的坐標為（3，0），∵y=﹣x+3過點C，易知C（0，3），∴c=3．

又∵拋物線過x軸上的A，B兩點，且對稱軸為x=2，根據拋物線的對稱性，∴點A的坐標為（1，0）．

又∵拋物線過點A（1，0），B（3，0），∴，解得：，∴該拋物線的解析式為：；

（2）如圖1，∵=，又∵B（3，0），C（0，3），∴PC===，PB==，∴BC===，又∵=2+18=20，=20，∴，∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，∴S△PBC=PBBC==3；（3）如圖2，由=，得P（2，﹣1），設拋物線的對稱軸交x軸于點M，∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=．

由點B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=．

假設在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

①當，∠PBQ=∠ABC=45°時，△PBQ∽△ABC．

即，解得：BQ=3，又∵BO=3，∴點Q與點O重合，∴Q1的坐標是（0，0）．

②當，∠QBP=∠ABC=45°時，△QBP∽△ABC．

即，解得：QB=．

∵OB=3，∴OQ=OB﹣QB=3﹣=，∴Q2的坐標是（，0）．

③當Q在B點右側，則∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC．

則點Q不可能在B點右側的x軸上．

綜上所述，在x軸上存在兩點Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似．