Question

已知，，是的平分線，點在上，．將三角板的直角頂點放置在點處，繞著點旋轉，三角板的一條直角邊與射線交于點，另一條直角邊與直線、直線分別交于點、點．

（1）如圖，當點在射線上時，
①求證： ；
②設，，求與的函數解析式并寫出函數的定義域；
（2）連結，當△與△似時，求的長．

Answer 1

（1）①證明見解析②（2）

（1）
證明：①過點作，，垂足分別為、．
∵是的平分線，
∴．
由，得．
∴．
∵，
∴．
∴△≌△．                       （3分）
∴．
解：②∵，
∴．
∵△≌△，
∴．
∴．                                                          （2分）
∵∥，
∴．
∴．                                                         （2分）
∴                                             （2分）
解：（2）當△與△相似時，點的位置有兩種情況：
①當點在射線上時，
∵，，
∴．
∴．
∴．
在Rt△中，．                               （2分）
②當點在延長線上時，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
易證，可得．
∴．
∴．
易證△≌△，
可得．
∵∥，
∴．
∴．
∴．                                                    （2分）
（1）①過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，有已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質即可求出y與x的函數解析式，再寫出其自變量的取值范圍即可；
（2）當△CEF與△EGP相似時，點F的位置有兩種情況：①當點F在射線CA上時，②當點F在AC延長線上時，分別討論求出滿足題意的EG長即可．