Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，點M為AB邊上一點，AM＝4，點N為AD邊上的一動點，沿MN將△AMN翻折，點A落在點P處，當點P在菱形的對角線上時，AN的長度為_____．

Answer 1

【答案】4或10﹣2．

【解析】

分兩種情況：①當點在菱形對角線上時，由折疊的性質得：，，證出，得出；

②當點在菱形對角線上時，設，由折疊的性質得：，，，求出，證明，得出比例線段，可求出答案

解：分兩種情況：①當點P在菱形對角線AC上時，如圖1所示：

由折疊的性質得：AN＝PN，AM＝PM，

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴∠PAM＝∠PAN＝30°，

∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，

∴AN＝AM＝4；

②當點P在菱形對角線BD上時，如圖2所示：

設AN＝x，

由折疊的性質得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，

∵AB＝6，

∴BM＝AB﹣AM＝2，

∵四邊形ABCD是菱形，

，，

∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，

∴∠BPM＝∠DNP，

∴△PDN∽△MBP，

，即，

，

，

解得：或（不合題意舍去），

綜上所述，的長為4或．

故答案為：4或．