Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．

（1）求證：AB＝BC；

（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE＝AE＋CD．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）題目中存在直角，垂直，含線段平方的等式，因此考慮連接AC，構造直角三角形，利用勾股定理證明

（2）可采用“截長”法證明，過點C作CF⊥BE于F，易證CD=EF，只需再證明AE=BF即可，這一點又可通過全等三角形獲證.

解：（1）證明：連接AC。

∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。

∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。

∵AD2＋CD2＝2AB2，

∴AB2＋BC2＝2AB2

∴AB＝BC。

（2）證明：過C作CF⊥BE于F

∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形

∴CD＝EF

∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90

∴∠BAE＝∠CBF。

又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，

∴△BAE≌△CBF（AAS）

∴AE＝BF。

∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD