Question

（1）如圖所示，在△ABC中，AD丄BC于D，AE平分∠BAC，且∠C大于∠B，求證：∠EAD=（∠C-∠B）．
（2）若把問題（1）中的“AD丄BC”改為“點F為EA上一點且FD丄BC于D”，畫出新的圖形，并試說明∠EFD=（∠C-∠B）．
（3）若把問題（2）中的“F為EA上一點”改為“F為AE延長線上的一點”，則問題（2）中的結論成立嗎？請說明你的理由．

Answer 1

（1）證明：在Rt△ADE中，
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DAE=90°-∠AED，
∵∠AED=∠AEC=180°-∠C-∠CAE，且AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠C-∠B），
∴∠DAE=90°-[180°-∠C-（180°-∠C-∠B）]=（∠C-∠B）．

（2）由三角形的外角性質知：∠FED=∠AEC=∠B+∠BAC，
故∠B+∠BAC+∠EFD=90°；①
在△ABC中，由三角形內角和定理得：∠B+∠BAC+∠C=180°，
即：∠C+∠B+∠BAC═90°，②
②-①，得：∠EFD=（∠C-∠B）．

（3）由三角形的外角性質知：∠FED=∠AEC=∠B+∠BAC，
故∠B+∠BAC+∠EFD=90°；①
在△ABC中，由三角形內角和定理得：∠B+∠BAC+∠C=180°，
即：∠C+∠B+∠BAC═90°，②
②-①，得：∠EFD=（∠C-∠B）．
分析：（1）在Rt△ADE中，可得∠AED+∠DAE=90°，又由∠AED=∠AEC=180°-∠C-∠CAE，且AE平分∠BAC，即可證得：∠EAD=（∠C-∠B）．
（2）在△EFD中，由三角形的外角性質知：∠FED=∠AEC=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠EFD=90°；聯立△ABC中，由三角形內角和定理得到的式子，即可推出∠EFD，∠B，∠C的關系．
（3）在△EFD中，由三角形的外角性質知：∠FED=∠AEC=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠EFD=90°；聯立△ABC中，由三角形內角和定理得到的式子，即可推出∠EFD，∠B，∠C的關系．
點評：此題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．