Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=a,AD=b,點P是對角線BD上的一個動點（點P不與B、D重合），連接AP并延長交射線BC于點Q，

（1）當AP⊥BD時，求△ABQ的面積（用含a、b的代數式表示）.

（2）若點M為AD邊的中點，連接MP交BC于點N，證明：點N也為線段BQ的中點.

（3）如圖，當為何值時，△ADP與△BPQ的面積之和最小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）由矩形性質，得到∠BAD=∠ABC=90°，由AP⊥BD，即可得到∠BAQ=∠ADB，則△ABQ∽△DAB，可得，可求出BQ，然后求出面積；

（2）由AD∥BC，得到△AMP∽△QNP，△DMP∽△BNP，然后得到，由AM=DM，即可得到NQ=BN；

（3）過點P作EF⊥AD交 AD、BC于 E 、F，設PE=h，則PF=a-h，根據對應線段成比例，求出BQ的值；然后根據面積之和，得到關于h的一元二次方程，利用根的判別式，求出面積的取值范圍，當面積最小時，求出h的值，然后得到的值.

（1）解：如圖：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=a，BC=AD=b，∠BAD=∠ABC=90°，

∵AP⊥BD，

∴∠BAQ+∠QAD=90°， ∠QAD+∠ADB=90°，

∴∠BAQ =∠ADB，

∴△ABQ∽△DAB，

∴，

∴，

∴S△ABQ=；

(2) ∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴△AMP∽△QNP，△DMP∽△BNP，

∴，

∴，

∵點M是AD的中點，

∴AM=DM，

∴NQ=BN，

即點N是BQ的中點；

（3）如圖，過點P作EF⊥AD交 AD、BC于 E 、F，

設PE=h，則PF=a-h，

∵AD∥BC，

∴，

∵AD=b，

∴BQ=.

設△ADP和△BPQ的面積之和為S，則

=

=

=，

∴，

即：；

∵關于h的方程，有實數根，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴S的最小值為：，

當時，代入方程，

解得：；

∵AD∥BC，

∴，

∴當時，△ADP和△BPQ的面積之和最小.