Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點O為對角線BD的中點，點P從點A出發，沿折線AD﹣DO﹣OC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）．
（1）求點N落在BD上時t的值；
（2）直接寫出點O在正方形PQMN內部時t的取值范圍；
（3）當點P在折線AD﹣DO上運動時，求S與t之間的函數關系式；
（4）直接寫出直線DN平分△BCD面積時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當點N落在BD上時，如圖1．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴ ．

∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，

∴ ．

∴t= ．

∴當t= 時，點N落在BD上

（2）解：①如圖2，

則有QM=QP=t，MB=4﹣t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵點O是DB的中點，

∴QM=BM．

∴t=4﹣t．

∴t=2．

②如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴DB=5．

∵點O是DB的中點，

∴DO= ．

∴1×t=AD+DO=3+ ．

∴t= ．

∴當點O在正方形PQMN內部時，t的范圍是2＜t＜

（3）解：①當0＜t≤ 時，如圖4．

S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．

②當 ＜t≤3時，如圖5，

∵tan∠ADB= = ，

∴ = ．

∴PG=4﹣ t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣ t）= ﹣4．

∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，

∴ ．

∴NF= GN= （ ﹣4）= t﹣3．

∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF

=t2﹣ ×（ ﹣4）×（ t﹣3）

=﹣ t2+7t﹣6．

③當3＜t≤ 時，如圖6，

∵四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形．

∴∠PQM=∠DAB=90°．

∴PQ∥AD．

∴△BQP∽△BAD．

∴ ．

∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，

∴ ．

∴BQ= ，PQ= ．

∴QM=PQ= ．

∴BM=BQ﹣QM= ．

∵tan∠ABD= ，

∴FM= BM= ．

∴S=S梯形PQMF= （PQ+FM）QM

= [ + ]

= （8﹣t）2

= t2﹣ t+ ．

綜上所述：當0＜t≤ 時，S=t2．

當 ＜t≤3時，S=﹣ t2+7t﹣6．

當3＜t≤ 時，S= t2﹣ t+

（4）解：設直線DN與BC交于點E，

∵直線DN平分△BCD面積，

∴BE=CE= ．

①點P在AD上，過點E作EH∥PN交AD于點H，如圖7，

則有△DPN∽△DHE．

∴ ．

∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE= ，EH=AB=4，

∴ ．

解得；t= ．

②點P在DO上，連接OE，如圖8，

則有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴ ．

∵DP=t﹣3，DO= ，OE=2，

∴PN= （t﹣3）．

∵PQ= （8﹣t），PN=PQ，

∴ （t﹣3）= （8﹣t）．

解得：t= ．

③點P在OC上，設DE與OC交于點S，連接OE，交PQ于點R，如圖9，

則有OE=2，OE∥DC．

∴△DSC∽△ESO．

∴ ．

∴SC=2SO．

∵OC= ，

∴SO= = ．

∵PN∥AB∥DC∥OE，

∴△SPN∽△SOE．

∴ ．

∵SP=3+ + ﹣t= ，SO= ，OE=2，

∴PN= ．

∵PR∥MN∥BC，

∴△ORP∽△OEC．

∴ ．

∵OP=t﹣ ，OC= ，EC= ，

∴PR= ．

∵QR=BE= ，

∴PQ=PR+QR= ．

∵PN=PQ，

∴ = ．

解得：t= ．

綜上所述：當直線DN平分△BCD面積時，t的值為 、 、 ．

【解析】（1）可證△DPN∽△DQB，從而有 ，即可求出t的值．（2）只需考慮兩個臨界位置（①MN經過點O，②點P與點O重合）下t的值，就可得到點O在正方形PQMN內部時t的取值范圍．（3）根據正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形形狀不同分成三類，如圖4、圖5、圖6，然后運用三角形相似、銳角三角函數等知識就可求出S與t之間的函數關系式．（4）由于點P在折線AD﹣DO﹣OC運動，可分點P在AD上，點P在DO上，點P在OC上三種情況進行討論，然后運用三角形相似等知識就可求出直線DN平分△BCD面積時t的值．