Question

【題目】如圖，在長方形ABCD中，AD=BC,AB=CD,AD＞AB，將長方形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連接CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，

（1）求證：DN=BM；（2）求ND:NA的值；（3）求MN2：BM2的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1：3；（3）12

【解析】

(1)利用證明全等三角形得出DN=BM；（2）利用面積之比推出三角形對應邊之比；（3）過點N作NG⊥BC于G,推出CDNG為矩形，根據矩形的性質推出邊之比，設DN=x，用x表示MN及BM,即可得出答案.

（1）∵∠EAN=90°,∠BAN=90°且∠NAE為公共角.

∴∠EAN=∠BAM.又∵AB=CD,∠B=∠D=90°

∴△ABM≌△CDN(ASA)

∴DN=BM

(2)∵ △CDN的面積與△CMN的面積比為1：3,他們等高.

∴DN:MC=1:3

又∵AN∥CM，AM∥CN

∴四邊形AMCN為平行四邊形，且由于折疊時CM=AM

∴四邊形AMCN為菱形.

∴DN:MC=DN：NA=1：3

(3)過點N作NG⊥BC于G，如圖.

∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC，∴CD=NG，CG=DN，

∠ANM=∠CMN，由折疊的性質可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN
∴AM=AN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
∵AM=CM，
∴四邊形AMCN是菱形，
∵△CDN的面積與△CMN的面積比為1:3，
∴DN:CM=1:3，

設DN=x，
則AM=AN=CM=CN=3x，AD=BC=4x，CG=x，
∴BM=x，GM=2x，
在Rt△CGN中，NG===2 .

在Rt△MNG中，MN===2x

∴==12..

故答案為：12．