Question

【題目】如圖，已知拋物線與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B，點A在點B的左邊，且B（3，0），AB=2

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）如果拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△APC的周長最小，求此時P點的坐標，并求出△APC周長；

（3）設D為拋物線上一點，E為對稱軸上一點，若以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣4x+3 ；(2) 點P（2，1）時，△APC的周長最小，最小值為；(3) （0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．

【解析】

試題分析：（1）先求出點A的坐標，根據兩點式設出拋物線解析式，用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）由點A，B關于拋物線對稱軸對稱，所以連接BC與拋物線對稱軸的交點就是點P，根據兩點間的距離公式求出各線段，即可；

（3）①AB為平行四邊形的邊時，就有AB∥DE，AB=DE，設出點D坐標，表示出點E坐標，由AB=DE求出點D坐標；

②AB為平行四邊形的對角線時，AB，DE互相平分，而點E在拋物線對稱軸上，得出點D也在拋物線對稱軸上，即點D就是拋物線的頂點．

試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點A、B，點A在點B的左邊，且B（3，0），AB=2，

∴A（1，0），

設拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3)，

∵點C在拋物線上，

∴3=a×(﹣1)×(﹣3)=3a，

∴a=1，

∴拋物線解析式為y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3，

（2）如圖1，

由（1）有，拋物線解析式為y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3，

∴拋物線的對稱軸為x=2，

連接BC，交對稱軸于點P，連接AP，

∵點A與點B關于對稱軸對稱，

∴點P就是使得△APC的周長最小時，對稱軸上的點，即：PA=PB，

∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，BC=，

當x=2時，y=1，

∴P（2，1），

∵A（1，0），

∴AP=，

∴△APC周長=AC+AP+CP=AC+BC=+=，

即：點P（2，1）時，△APC的周長最小，最小值為；

（3）∵以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴分AB為對角線和邊兩種情況計算，

①當AB為平行四邊形的邊時，AB∥DE，AB=DE，

∵點D在拋物線上，

∴設點D（m，﹣4m+3），

∵點E在拋物線對稱軸x=2上，

∴點E（2，﹣4m+3），

∵DE∥AB，

∴DE=|m﹣2|，

∵AB=DE，AB=2，

∴|m﹣2|=2，

∴m=0，或m=4，

∴D（0，3）或（4，3），

②當AB為平行四邊形的對角線時，AB與DE互相平分，

∵點E在拋物線對稱軸上，

∴點D也在拋物線的對稱軸上，

即：點D就是拋物線的頂點，

由（1）得，拋物線解析式為y=（x﹣1）（x﹣3），

∴拋物線頂點坐標為（2，﹣1），

∴滿足條件的點D的坐標為（0，3）或（4，3）或（2，﹣1）．