Question

在?ABCD中，過點C作CE⊥CD交AD于點E，將線段EC繞點E逆時針旋轉90°得到線段EF（如圖①）．
（1）在圖①中畫圖探究：
①當P₁為射線CD上任意一點（P₁不與C點重合）時，連接EP₁，將線段EP₁繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG₁．判斷直線FG₁與直線CD的位置關系并加以證明；
②當P₂為線段DC的延長線上任意一點時，連接EP₂，將線段EP₂繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG₂．判斷直線G₁G₂與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論．

Answer 1

分析：①由CE⊥CD交AD于點E，將線段EC繞點E逆時針旋轉90°得到線段EF，易得EF∥CD，設直線FG₁與直線CD的交點為H，根據旋轉的性質得到∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC，根據等角的余角相等得到∠G₁EF=∠P₁EC，易證得△G₁EF≌△P₁EC，則∠G₁FE=∠P₁CE，而EC⊥CD有∠P₁CE=90°，則∠FHC=90°，即可得到FG₁⊥CD；
②與①一樣易證得△G₂EF≌△P₂EC，則∠G₂FE=∠P₂CE，而EC⊥CD有∠P₂CE=90°，則∠G₂FE=90°，則點G₁、F、G₂共線，于是得到G₁G₂⊥CD．

解答：解：①直線FG₁與直線CD的位置關系為互相垂直．理由如下：
∵CE⊥CD交AD于點E，將線段EC繞點E逆時針旋轉90°得到線段EF，
∴∠CEF=90°，
∴EF∥CD，
如圖1，設直線FG₁與直線CD的交點為H，
∵線段EC、EP₁分別繞點E逆時針旋轉90°依次得到線段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC，
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC，
∴△G₁EF≌△P₁EC，
∴∠G₁FE=∠P₁CE，
又∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90°．
∴∠FHC=90°，
∴FG₁⊥CD．

②按題目要求所畫圖形見圖1，直線G₁G₂與直線CD的位置關系為互相垂直．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角線段，對應線段線段；對應點的連線段所夾的角等于旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質以及解決探究問題的能力．