Question

【題目】已知拋物線經過點，點，與x軸交于另一點C，頂點為D，連接．

（１）求該拋物線的解析式；

（２）點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設點P的橫坐標為t，

①當點P在直線的下方運動時，求面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請直接寫出點P的坐標若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當時，的面積取得最大值，最大值為；②存在．滿足條件的點P坐標為和

【解析】

（1）將點，點代入拋物線中求出a，b即可；

（2）①過點P作軸于點E，交直線于點F，先求出直線BC的解析式，進而設P的坐標為，F的坐標為，從而求出的面積表達式即可求得最值；②分兩種情況進行討論，當點P在直線BC的上方時，當時，則和當點P在直線BC的下方時，設直線PB與CD交于點M，若，則，進而即可求得點P的坐標．

解：（1）∵拋物線經過點，點

∴

解得

∴拋物線的解析式為；

（2）①如圖①，過點P作軸于點E，交直線于點F

在拋物線中，令

則，解得，

∴點C的坐標為

由點和點可求得直線的解析式為

設點P的坐標為，由題意可知

則點F的坐標為

∴

∴

∵

∴當時，的面積取得最大值，最大值為；

②存在．滿足條件的點P坐標為和

∵

∴拋物線的頂點D的坐標為

由點和點可求得直線的解析式為

如圖②，當點P在直線的上方時，當時，則

設直線的解析式為，把點的坐標代入，得

∴直線的解析式為

由，解得，（舍去）

當時，

∴點P坐標為；

如圖③，當點P在直線的下方時

設直線與交于點M，若，則

過點B作軸于點N，則點

∴

∴垂直平分線段

設直線與交于點G，則線段的中點G為．由點和點可求得解析式為

∵直線，與直線交

∴由，解得

∴點M的坐標為

由點和點可求得直線的解析式為

∴由，解得，（舍去）

∴點P坐標為；

∴綜上所述，滿足條件的點P坐標為和．