Question

（1999•河北）如圖，正方形OABC的頂點O在坐標原點，且OA和AB邊所在的直線的解析式分別為：y=x和y=-x+．D、E分別為邊OC和AB的中點，P為OA邊上一動點（點P與點O不重合），連接DE和CP，其交點為Q．
（1）求證：點Q為△COP的外心；
（2）求正方形OABC的邊長；
（3）當⊙Q與AB相切時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證點Q為△COP的外心，需證QC=QP=QO，而△COP中，DQ為中位線，則即可得證；
（2）由OA和AB邊的解析式求出A點坐標，由兩點之間坐標公式求出OA的長，即正方形邊長；
（3）當⊙Q與AB相切時，作出⊙Q，由切線和割線的關系，求出P點坐標．
解答：（1）證明：∵D、E分別為正方形OABC中OC、AB的中點，
∴DE∥OA．
∴Q也是CP的中點．
又∵CP是Rt△COP的斜邊，
∴點Q為△COP的外心．

（2）解：由方程組
解得，
∴點A的坐標為（，）．
過點A作AF⊥Ox軸，垂足為點F．
∴OF=，AF=．
由勾股定理，得OA==．
∴正方形OABC的邊長為．

（3）解：如圖，當△COP的外接圓⊙Q與AB相切時，
∵圓心Q在直線DE上，DE⊥AB，
∴E為⊙Q與AB相切的切點．
又∵AE和APO分別是⊙Q的切線與割線，
∴AE²=AP•AO．
∵OA=，AE=OA，
∴AP=OA=，
∴當⊙Q與AB相切時，OP=-=，
作PH⊥Ox軸，垂足為H．
∵PH∥AF，∴
∴OH==，
PH==
∴點P的坐標為（，）．
點評：本題考查的問題較為復雜，是一次函數和幾何知識相結合的問題，同學們要注意幾何知識的熟練掌握．