Question

已知：如圖，AC是⊙O的直徑，AB是弦，MN是過點A的直線，AB等于半徑長．
（1）若∠BAC=2∠BAN，求證：MN是⊙O的切線．
（2）在（1）成立的條件下，當點E是

AB

的中點時，在AN上截取AD=AB，連接BD、BE、DE，求證：△BED是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）連接OB．由AC是⊙O的直徑，AB是弦且等于半徑長，易證△AOB為等邊三角形，得到∠BAC=2∠BAN=60°，得∠BAN=30°，所以∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°；
（2）連接AE，由E是弧AB的中點，根據弧相等所對的圓心角相等和弧的度數與它所對圓心角的度數的關系得到∠BAE=∠ABE=15°，則∠DAE=15°，易證△ABE≌△ADE．則BE=DE，∠EDA=∠ABE=15°，得到∠BDE=∠EBD=（180°-30°-30°）÷2=60°，即可判斷△BED是等邊三角形．

解答：證明：（1）連接OB．如圖，
∵AC是⊙O的直徑，AB是弦且等于半徑長，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴∠OAB=60°，
∵∠BAC=2∠BAN=60°，
∴∠BAN=30°，
∴∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°，
即AC⊥MN，
所以MN是⊙O的切線；

（2）連接AE，OE，如圖，
∵E是弧AB的中點，
∴∠BAE=∠ABE=15°，
∴∠DAE=15°，
易證△ABE≌△ADE．
∴BE=DE，∠EDA=∠ABE=15°．
∴∠BDE=∠EBD=（180°-30°-30°）÷2=60°．
∴△BDE是等邊三角形．

點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理的推論以及三角形全等的判定與性質．