Question

如圖，扇形OAB的半徑為4，圓心角∠AOB=90°，點C是上異于點A、B的一動點，過點C作CD⊥OB于點D，作CE⊥OA于點E，聯結DE，過O點作OF⊥DE于點F，點M為線段OD上一動點，聯結MF，過點F作NF⊥MF，交OA于點N．

（1）當時，求的值；

（2）設OM=x，ON=y，當時，求y關于x 的函數解析式，并寫出它的定義域；

（3）在（2）的條件下，聯結CF，當△ECF與△OFN相似時，求OD的長．

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）或 .

【解析】

試題分析：（1）由△MFO∽△NFE和，根據相似三角形的判定和性質，銳角三角函數定義， 即可求得結果.

（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得，即，從而根據勾股定理可得出，即.

（3）分或兩種情況討論即可.

（1）由題意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE=90° ， ∴∠MOF=∠FEN ．

由題意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN=90° ， ∴∠MFO=∠NFE.

∴△MFO∽△NFE．∴.

由∠FEN=∠MOF可得：， ∴, ∴．

（2）∵△MFO∽△NFE , ∴.

又易證得：△ODF∽△EOF ， ∴．

∴， ∴．

如圖，連接MN，則.

由題意，得四邊形ODCE為矩形，∴DE=OC=4 .∴MN=2.

在Rt△MON中，,即.

∴y關于x 的函數解析式為 ．

（3）由題意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.

∴由題意，可得： ， ∴.

∵又，∴，∴.

由題意，可得：∠NOF=∠FEC ，

∴由△ECF與△OFN相似，可得：或.

當時，，∴.

又，∴，解得：（舍去）.

∴.

②當時，，∴，

又，∴，∴解得：（舍去）

∴.

綜上所述，OD=或 .

考點：1.雙動點問題；2.矩形的性質；3.相似三角形的判定和性質；4.由實際問題列函數關系式；5.勾股定理；6.銳角三角函數定義；7.分類思想的應用.