Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD、CF分別是∠BAC、∠ACB的角平分線，且AD、CF交于點I， IE⊥B于E，下列結論：①∠BIE＝∠CID；②S△ABC＝IE(AB＋BC＋AC)；③BE=(AB＋BC－AC)；④AC＝AF＋DC.其中正確的結論是_______________ （填序號）

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

如圖，作IM⊥AB于M，IN⊥AC于N．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可；

如圖，作IM⊥AB于M，IN⊥AC于N．

∵AD、CF分別是∠BAC、∠ACB的角平分線，IM⊥AB，IN⊥AC，IE⊥BC，
∴IE=IM=IN，
∴S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI=ABIM+ACIN+BCIE=IE（AB+BC+AC），故②正確，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠IBE=∠ABC，∠IAC=∠BAC，∠ICA=∠ACB，
∴∠IBE+∠IAC+∠ICA=90°，
∵∠CID=∠IAC+∠ICA=90°-∠IBE=∠BIE，故①正確，
∵BI=BI，IM=IE，
∴Rt△BIM≌Rt△BIE（HL），
∴BE=BM，同法可證：AM=AN，CN=CE，
∴BE=（AB+BC-AC），故③正確，
④只有在∠ABC=60°的條件下，AC=AF+DC，故④錯誤，
故答案為：①②③．