Question

【題目】在如圖的直角坐標系中，已知點A（1，0）、B（0，﹣2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC，若拋物線y=﹣x2+bx+2經過點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，﹣2）作不平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點，問在y軸的正半軸上是否存在一點P，使△PEF的內心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

（3）在拋物線上是否存在一點M，使得以M為圓心，以為半徑的圓與直線BC相切？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）存在，P（0，2）；（3）存在，點M的坐標為（﹣2，﹣1）或（，）或（，﹣）或（，﹣）

【解析】

（1）根據題意得出△AOB≌△CDA，從而求得OA=CD=1，AD=OB=2，即可求得C的坐標，然后把C的坐標代入拋物線的解析式即可求得b；

（2）將拋物線平移，當頂點至原點時，解析式為y=﹣x2，設EF的解析式為y=kx﹣2（k≠0）．假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過E，F作GH的垂線，垂足為G，H．由△PEF的內心在y軸上，得出∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，那么△GEP∽△HFP，根據相似三角形對應邊成比例以及根與系數的關系即可求解；

（3）根據B、C坐標根據待定系數法求得解析式，求得直線與x軸的解得坐標，在y軸上去一點K，作KS⊥BC于S，使KS=，易證得△BOG∽△BSK，由對應邊成比例求得BK的出，既然求得K的坐標，過K點作BC平行線交拋物線的交點即為M點，求得平行線的解析式，然后和拋物線的解析式聯立方程即可求得．

解：（1）如圖1，∵點A（1，0）、B（0，﹣2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC，

∴AB=AC，∠BAC=90°

連接AB，作CD⊥OD于D，

∴∠AOB=∠CDA=∠BAC=90°，

∴∠OBA＋∠OAB=90°，∠DAC＋∠OAB=90°

∴∠OBA=∠DAC

∴△AOB≌△CDA，

∴OA=CD，AD=OB，

∴C（3，﹣1），

∵拋物線y=﹣x2+bx+2經過點C．

∴﹣1=﹣×9+3b+2，

解得b=，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）將拋物線平移，當頂點至原點時，拋物線為y=﹣x2，設EF的解析式為y=kx﹣2（k≠0）．

假設存在滿足題設條件的點P（0，t），

如圖2，過P作GH∥x軸，分別過E，F作GH的垂線，垂足為G，H．

∵△PEF的內心在y軸上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，

∴GP：PH=GE：HF，

∴﹣xE：xF=（t﹣yE）：（t﹣yF）=（t﹣kxE+2）：（t﹣kxF+2），

∴2kxExF=（t+2）（xE+xF），

聯立

得x2+2kx﹣4=0，xE、xF是該一元二次方程的解

∴xE+xF=﹣2k，xExF=﹣4，

∴2k（﹣4）=（t+2）（﹣2k），

∵k≠0，

∴t=2，

∴y軸的正半軸上存在點P（0，2），使△PEF的內心在y軸上；

（3）∵B（0，﹣2），C（3，﹣1），

設直線BC的解析式為y=mx﹣2，

∴﹣1=3m﹣2，

∴m=，

∴y=x﹣2，

∴直線BC與x軸的交點G（6，0），

∴OB=2，OG=6，

∴BG==2，在y軸上取一點K，作KS⊥BC于S，使KS=，

∵∠BOG=∠BSK=90°，∠OBG=∠SBK，

∴△BOG∽△BSK，

∴，即，

∴BK=，

∴OK=或，

∴K（0，﹣）或（0，﹣）

作KM∥BC交拋物線與M，

∴直線KM為y=x﹣或y=x﹣，

解

得，，

解

得或，

∴在拋物線上存在一點M，使得以M為圓心，以為半徑的圓與直線BC相切，點M的坐標為（﹣2，﹣1）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．