Question

已知：拋物線與x軸交于A（-2，0）、B（4，0），與y軸交于C（0，4）．
（1）求拋物線頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可以平移多少個單位長度，向下最多可以平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）先設出過A（-2，0）、B（4，0）兩點的拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），再根據拋物線與y軸的交點坐標即可求出a的值，進而得出此拋物線的解析式；
（2）先用待定系數法求出直線CD解析式，再根據拋物線平移的法則得到（1）中拋物線向下平移m各單位所得拋物線的解析式，再將此解析式與直線CD的解析式聯立，根據兩函數圖象有交點即可求出m的取值范圍，進而可得到拋物線向下最多可平移多少個單位；同理可求出拋物線向上最多可平移多少個單位．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），
∵C點坐標為（0，4），
∴a=-

1

2

，（1分）
∴解析式為y=-

1

2

x²+x+4，
頂點D坐標為（1，

9

2

）；（2分）

（2）直線CD解析式為y=kx+b．
則，

b=4 k+b= 9 2

，
∴

b=4 k= 1 2

，
∴直線CD解析式為y=

1

2

x+4，（3分）
∴E（-8，0），F（4，6），
若拋物線向下移m個單位，其解析式y=-

1

2

x²+x+4-m（m＞0），
由

y=- 1 2 x2+x+4-m y= 1 2 x+4

消去y，得-

1

2

x²+

1

2

x-m=0，
∵△=

1

4

-2m≥0，
∴0＜m≤

1

8

，
∴向下最多可平移

1

8

個單位．（5分）
若拋物線向上移m個單位，其解析式y=-

1

2

x²+x+4+m（m＞0），
方法一：當x=-8時，y=-36+m，
當x=4時，y=m，
要使拋物線與EF有公共點，則-36+m≤0或m≤6，
∴0＜m≤36；（7分）
方法二：當平移后的拋物線過點E（-8，0）時，解得m=36，
當平移后的拋物線過點F（4，6）時，m=6，
由題意知：拋物線向上最多可以平移36個單位長度，（7分）
綜上，要使拋物線與EF有公共點，向上最多可平移36個單位，向下最多可平移

1

8

個單位．

點評：本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、二次函數與一次函數的交點問題，有一定的難度．