Question

（2012•西湖區一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，連接AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y，
（1）求證：△ADQ∽△PBA，并求出y關于x的函數解式；
（2）當點P運動時，△APQ的面積S是否會發生變化？若發生變化，請說明理由：若不發生變化，請求出S的值；
（3）當以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，且⊙A與⊙Q也相切時，求⊙A的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據翻折的性質知：∠QAD=∠DAE=∠APB，由此可證得△QAD∽△APB，根據相似三角形所得比例線段即可求得y、x的函數關系式．
（2）由翻折的性質易證得△ADE≌△ADQ，可得QD=DE，即QE=2y，而△AQP的面積可由QE•BP的一半（即QD•BP）求得，由（1）知，QD•BP為定值即12，因此△APQ的面積是不會變化的．
（3）若⊙Q與直線AP相切，且半徑為4，根據△APQ的面積即可求得AP的長，進而可得∠APB、∠QAD的度數，從而根據AD的長求得AQ的值；然后分⊙A與⊙Q內切、外切兩種情況分類求解即可．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
由題意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，
∴

DQ

AB

=

AD

BP

，即

y

3

=

4

x+4

，
∴y=

12

x+4

，定義域為x＞0．

（2）不發生變化，
證明：在△ADE和△ADQ中，
∵

∠QAD=∠DAP AD=DA ∠ADQ=∠ADE

，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；
∴S_△APQ=S_△AEQ+S_△EPQ
=

1

2

QE•AD+

1

2

QE•CP
=

1

2

QE（AD+CP）
=

1

2

QE•BP=DQ•BP
=y×（x+4）
=12；
所以△APQ的面積沒有變化．

（3）過點Q作QF⊥AP于點F
∵以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，
∴QF=4，
∵S_△APQ=12，
∴AP=6，
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°，
∴∠PAQ=60°，此時BC=AD=4，DE=AD•tan30°=

4 3

3

，
∴AQ=EQ=2DE=

8 3

3

，
設⊙A的半徑為r，
∵⊙A與⊙Q相切，
∴⊙A與⊙Q外切或內切．
（i）當⊙A與⊙Q外切時，AQ=r+4，即

8 3

3

=r+4，
∴r=

8 3

3

-4．
（ii）當⊙A與⊙Q內切時，AQ=r-4，即

8 3

3

=r-4，
解得：r=

8 3

3

+4．
綜上所述，⊙A的半徑為

8 3

3

-4或

8 3

3

+4．

點評：此題主要考查了圖形的翻折變換、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、三角形面積的求法以及圓與圓的位置關系等知識，綜合性強，難度較大．