Question

【題目】如圖，等邊△ABC 中，高線 AD=6，點(diǎn)P從點(diǎn) A出發(fā)，沿著AD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D停止，以CP為邊向左下方作等邊△CPQ，連接BQ，DQ.

（1）請(qǐng)說(shuō)明：△ACP ≌△BCQ；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△BDQ是等腰三角形時(shí)，求∠BDQ的度數(shù)；

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠BDQ=30°或75°或120°.

【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，由邊角邊證得△ACP≌△BCQ；（2）由全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可得∠QBD=30°，由等腰三角形的性質(zhì)，分情況求出∠BDQ.

試題解析：（1）∵△ABC和△PQC是等邊三角形，

∴AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，

又∵∠ACP=60°-∠BCP，∠BCQ=60°-∠BCP，

∴∠ACP=∠BCP

在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（SAS）.

（2）由（1）知，△ACP ≌△BCQ，

∴∠QBD=∠PAC=30°，

當(dāng)△BDQ 是等腰三角形時(shí)，

①若BQ=QD，如圖1，則∠BDQ=30°；

②若BQ=BD，如圖2，則∠BDQ=75°；

③若BD=DQ，如圖3，則∠BDQ=120°.