Question

【題目】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．

（2）結論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．

（3）結論依然成立．還知道EG⊥CG．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DCF=90°，

在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點，

∴CG=FD，

同理，在Rt△DEF中，

EG=FD，

∴CG=EG．

（2）解：（1）中結論仍然成立，即EG=CG．

證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．

在△DAG與△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG=CG；

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG=NG；

∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，

∴四邊形AENM是矩形，

在矩形AENM中，AM=EN，

在△AMG與△ENG中，

∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG=EG，

∴EG=CG．

證法二：延長CG至M，使MG=CG，

連接MF，ME，EC，

在△DCG與△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE與Rt△CBE中，

∵MF=CB，∠MFE=∠EBC，EF=BE，

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB．

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，

∴△MEC為直角三角形．

∵MG=CG，

∴EG=MC，

∴EG=CG．

（3）解：（1）中的結論仍然成立．理由如下：

過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．

由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，

又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∵G為CM中點，

∴EG=CG，EG⊥CG．