Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1，0），O是坐標原點，且OC=3OA．點E為線段BC上的動點（點E不與點B，C重合），以E為頂點作∠OEF=45°，射線ET交線段OB于點F．
（1）求出此拋物線函數表達式，并直接寫出直線BC的解析式；
（2）求證：∠BEF=∠COE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
（4）點P為拋物線的對稱軸與直線BC的交點，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以點A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出C點坐標，進而利用待定系數法求一次函數和二次函數解析式；
（2）利用等腰直角三角形的性質以及三角形的外角知識得出∠BEF=∠COE；
（3）首先得出OE＞OF即OE≠OF，再利用當OE=EF時，當OF=EF時分別得出即可；
（4）①AP為邊，此時P點縱坐標為2或-2，②AP為對角線，設M為（x，0）則N為（-x，-2）進而得出M點坐標．

解答：解：（1）∵點A的坐標是（-1，0），則AO=1，OC=3OA=3，
∴C為（0，-3）
∵拋物線過（-1，0）和（0，-3）

∴ a+2a+c=0 c=-3 ∴ a=1 c=-3

∴此拋物線函數表達式為：y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴B點坐標為：（3，0），
設BC直線解析式為：y=kx+b，

b=-3 3k+b=0

，
解得：

k=1 b=-3

，
直線BC的解析式：y=x-3；

（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE；

（3）①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②當OE=EF時，
在△COE和△BEF中

∠BEF=∠COE ∠OCE=∠EBF OE=EF

，
∴△COE≌△BEF（AAS），
∴BE=CO=3．
過E作ED⊥x軸于D．
∴ED=BD=BEcos45°=

3 2

2

，
∴OD=3-

3 2

2

，
∴E為（3-

3 2

2

，-

3 2

2

）；
③當OF=EF時，則∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E為BC的中點，∴E為(

3

2

，-

3

2

)．

（4）對稱軸為x=1，
∴P為（1，-2）．
①AP為邊，
此時P點縱坐標為2或-2，
令x²-2x-3=2
即x²-2x-5=0
∴x₁=1+

6

，x₂=1-

6

，
∴N為（1+

6

，2）或（1-

6

，2），
故M為（3+

6

，0）或（3-

6

，0），
令x²-2x-3=-2
即x²-2x-1=0，
∴x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
∴N為（1+

2

，2）或（1-

2

，2），
故M為（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0），
②AP為對角線，
設M為（x，0）
則N為（-x，-2）
∴x²+2x-3=-2
x²+2x-1=0
∴x₁=-1+

2

，x₂=-1-

2

，
故M為（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0），
綜上所述：M為（3+

6

，0）或（3-

6

，0）或（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0）．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數和二次函數解析式以及平行四邊形的性質和等腰三角形的性質等知識，利用分類討論思想得出是解題關鍵．