Question

【題目】下面是“作頂角為 120°的等腰三角形的外接圓”的尺規作圖過程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圓．作法：（1）分別以點 B 和點 C 為圓心，AB 的長為半徑作弧，兩弧的一個交點為 O；（2）連接 BO；（3）以 O 為圓心，BO 為半徑作⊙O．⊙O 即為所求作的圓．請回答：該尺規作圖的依據是_______．

Answer 1

【答案】該尺規作圖的依據為：四邊相等的四邊形是菱形、有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形、圓的定義．

【解析】

由作圖知AB=OB=OC=AC可判定四邊形ABOC為菱形，根據∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，從而得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC為等邊三角形，繼而由OB=OA=OC可得所求作的圓．

如圖，連接OA、OC，

由作圖知BA=BO、OC=OA，

∵AB=AC，

∴AB=OB=OC=AC，

∴四邊形ABOC為菱形（四邊形相等的四邊形是菱形），

又∵∠BAC=120°，

∴∠BAO=∠CAO=60°，

則△OAB、△OAC為等邊三角形（有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形），

∴OB=OA=OC，

∴點A、B、C在以O為圓心、OB為半徑的圓上（圓的定義），

綜上，該尺規作圖的依據為：四邊形相等的四邊形是菱形、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形、圓的定義．