Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+4x與x軸交于O、A兩點．直線y＝kx+m經過拋物線的頂點B及另一點D（D與A不重合），交y軸于點C．

（1）當OA＝4，OC＝3時．

①分別求該拋物線與直線BC相應的函數表達式；

②連結AC，分別求出tan∠CAO、tan∠BAC的值，并說明∠CAO與∠BAC的大小關系；

（2）如圖2，過點D作DE⊥x軸于點E，連接CE．當a為任意負數時，試探究AB與CE的位置關系？

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x2+4x，y＝x+3；②∠CAO＞∠BAC；（2）AB∥CE，理由見解析.

【解析】

（1）①根據題意得出A、C的坐標，由A的坐標可求出拋物線解析式及其頂點B坐標，根據B、C坐標可得直線解析式；
②tan∠CAO=，先根據勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，再根據tan∠BAC=可得答案；
（2）根據y=ax2+4x求得A（-，0）、B（-，-），先求得tan∠BAO=2，再將B（-，-）代入y=kx+m得m=，據此知點C（0，），由可求得E（，0），根據tan∠CEO==2知∠BAO=∠CEO，從而得出答案．

（1）①∵OA＝4，OC＝3，

∴A（4，0），C（0，3），

將A（4，0）代入y＝ax2+4x，得：16a+16＝0，

解得a＝﹣1，

則y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴B（2，4），

將B（2，4），C（0，3）代入y＝kx+m，得：，

解得，

∴y＝x+3；

②tan∠CAO＝，

∵AC2＝（0﹣4）2+（3﹣0）2＝25，BC2＝（2﹣0）2+（4﹣3）2＝5，AB2＝（2﹣4）2+（4﹣0）2＝20，

∴AC2＝BC2+AB2，且BC＝，AB＝2，

∴△ABC是直角三角形，其中∠ABC＝90°，

則tan∠BAC＝，

∵tan∠CAO＞tan∠BAC，

∴∠CAO＞∠BAC．

（2）AB∥CE，理由如下：

由y＝ax2+4x＝0得x1＝0，x2＝﹣，則A（﹣，0），

又y＝ax2+4x＝a（x+）2﹣，

∴頂點B的坐標為（﹣，﹣），

則tan∠BAO＝，

將B（﹣，﹣）代入y＝kx+m，得：﹣+m＝﹣，

解得m＝，

∴點C（0，），即OC＝，

由得x＝﹣或x＝，

∴E（，0），

∴OE＝，

∴tan∠CEO＝，

∴tan∠BAO＝tan∠CEO，

∴∠BAO＝∠CEO，

∴AB∥CE．