Question

如圖，⊙O的直徑AB，CD互相垂直，P為  上任意一點，連PC，PA，PD，PB，下列結論：
①∠APC=∠DPE；
 ②∠AED=∠DFA；
③

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

．其中正確的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．0個

Answer 1

分析：根據垂徑定理得到弧AC=弧AD，則根據圓周角定理得∠APC=∠DPE；由于弧PC與PB弧不一定相等，根據圓周角定理得∠BAP與∠PDC不一定相等，于是利用三角形內角和定理可判斷∠AED與∠DFA不一定相等；連結AC、AD，由于AC=AD，∠CAD=90°，則把△CAP繞點A順時針旋轉90°得到△ADQ，先證明點P、D、Q共線，則判斷△APQ為等腰直角三角形，則2PQ=

2

AP，所以PD+PC=

2

AP，利用同樣的方法可得到同理可得BP+AP=

2

DP，于是得到

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

．

解答：解：∵⊙O的直徑AB，CD互相垂直，
∴弧AC=弧AD，
∴∠APC=∠DPE；所以①正確；
∵P為BC弧上任意一點，
∴弧PC與PB弧不一定相等，
∴∠BAP與∠PDC不一定相等，
∴∠AED與∠DFA不一定相等；所以②錯誤；
連結AC、AD，由于AC=AD，∠CAD=90°，則把△CAP繞點A順時針旋轉90°得到△ADQ，如圖，
∴CP=DQ，AP=AQ，∠ACP=∠ADQ，∠PAQ=90°，∠APC=∠Q，
∵∠ACP+ADP=180°，
∴∠ADP+∠ADQ=180°，
∴點P、D、Q共線，
∵∠APC=

1

2

∠AOC=45°，
∴∠Q=45°，
∴△APQ為等腰直角三角形，
∴PQ=

2

AP，
∴PD+PC=

2

AP，
同理可得BP+AP=

2

DP，
∴

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

，所以③正確．
故選B．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了旋轉的性質和等腰直角三角形的性質．