Question

【題目】我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了（a+b）n（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數等等．

（1）根據上面的規律，寫出（a+b）5的展開式．
（2）利用上面的規律計算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

（2）

解：原式=25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5

=（2﹣1）5

=1

【解析】（1）由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2 ， （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于（a+b）n﹣1的相鄰兩個系數的和，由此可得（a+b）4的各項系數依次為1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各項系數依次為1、5、10、10、5、1．（2）將25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1寫成“楊輝三角”的展開式形式，逆推可得結果．