Question

（2008•煙臺）如圖，AB是⊙O的直徑，且點C為⊙O上的一點，∠BAC=30°，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，且∠ECF=∠E．
（1）證明：CF是⊙O的切線；
（2）設⊙O的半徑為1，且AC=CE，求MO的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證CF為⊙O的切線，只要證明∠OCF=90°即可；
（2）根據三角函數求得AC的長，從而可求得BE的長，再利用三角函數可求出MB的值，從而可得到MO的長．
解答：（1）證明：如圖，連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°；
在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，
∴∠E=30°；
∵∠E=∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴∠ECF+∠OCB=90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，
∴∠OCF=90°，
∴CF為⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC=ABcos30°=，BC=ABsin30°=1；
∵AC=CE，
∴BE=BC+CE=1+，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，
∴MB=BEsin30°=，
∴MO=MB-OB=．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．