Question

3．已知兩條直線l₁、l₂分別經過點A（-1，0）、點B（3，0）并且當兩條直線同時相交于y軸的負半軸上的點C時，恰好有l₁⊥l₂，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₁交于點K，與直線l₂交于點E，在x軸交于點F，D是拋物線的頂點，如圖所示．
（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l₁、拋物線、直線l₂和x軸依次截得三條線段，問：這三條線段有何數量關系？請說明理由．
（3）當直線l₂繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用△BOC∽△COA，根據相似三角形的性質求得OC的長，則C的坐標即可求得，然后利用待定系數法求得二次函數的解析式；
（2）首先求得l₁，l₂和拋物線的對稱軸的解析式，進而求得K、D、E、F分坐標，則DK、DE、和EF的關系即可求得；
（3）分成K、C、M分別是等腰三角形的頂點三種情況進行討論，根據等腰三角形的性質求解．

解答 解：（1）由題意可得AO=1，BO=3，
∵△BOC∽△COA，
∴$\frac{CO}{BO}$=$\frac{AO}{CO}$，即$\frac{CO}{3}$=$\frac{1}{CO}$，
∴CO=$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$（舍去）．
∴C的坐標是（0，-$\sqrt{3}$）．
設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；
（2）所得的三條線段的數量關系是KD=DE=EF．
理由是：設直線l₁的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則直線l₁的解析式是y=-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$．
同理l₂的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$．
拋物線的對稱軸是x=1，
則K的坐標是（1，-2$\sqrt{3}$），D的坐標是（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），E的坐標是（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），F的坐標是（1，0）．
則KD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
則KD=DE=EF；
（3）由題意需進行分類討論．
①以K為圓心，KC的長為半徑畫圓弧，交拋物線于點M₁，此時KM₁=KC，則M₁與C關于對稱軸x=1對稱．
設M₁的橫坐標是a，則$\frac{1}{2}$a=1，解得：a=2．
則M₁的坐標是（2，-$\sqrt{3}$）；
②當以點C為圓心，線段KC的長為半徑畫圓弧時，與拋物線的交點M₁和A，而A、C、K三點在一條直線上，不能構成三角形；
③作線段KC的中垂線，
∵CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=DK．
∴KC的中垂線一定經過D．
即此時D就是所求的點M₂．此時有點M₂，即點M₂的坐標是（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）使得△M₂CK是等腰三角形．
綜上所述，當點M的坐標是（2，-$\sqrt{3}$），（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）時，△MCK是等腰三角形．

點評 本題是待定系數法求函數解析式、相似三角形的性質以及等腰三角形的判定與性質，對等腰三角形進行討論是解決本題的關鍵．