Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90，E為AB的中點，AC與DE交于點F．

(1)求證： =AB·AD；

(2)求證：CE//AD；

(3)若AD=6, AB=8．求 的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析; (2)證明見解析; (3) ．

【解析】試題分析：（1）由AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=ABAD；

（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值．

試題解析：（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=ABAD；

（2）證明：∵E為AB的中點，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×8=4，∵AD=6，∴6：4=AF：CF，∴==．