Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，⊙B與AB、BC交于E、F，點P是弧EF上的一個動點，連接PC，線段PC繞P點逆時針旋轉90°到PD，連接CD，AD．

（1）求證：△BPC∽△ADC；

（2）當四邊形ABCD滿足AD∥CB且是面積為12時，求⊙B的半徑；

（3）若⊙B的半徑的為2，當點P沿弧EF從點E運動至點PC與⊙B相切時，求點D的運動路徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質可知：BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，從而可證明∠BCP=∠ACD，最后依據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似進行證明即可；

（2）如圖1所示：先求得△ABC的面積，然后可得到△ADC的面積，依據三角形的面積公式可得到AD的長，然后依據相似三角形對應邊長比例可求得PB的長；

（3）如圖2所示：由相似三角形的性質可知：AD=2，于是可得到點D在以A為圓心，以2為半徑的圓上，然后根據點P在圓B的運動路線和確定點D經過的路徑（弧）所對的圓心角，最后依據弧長公式求解即可．

試題解析：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠ACB=45°，BC：AC=1：．

∵PD=PC，∠DPC=90°，

∴∠PCD=45°，PC：DC=1：．

∴BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB．

∴∠PCD﹣∠PCA=∠ACB﹣∠PCA，即∠BCP=∠ACD．

∴△BPC∽△ADC．

（2）如圖1所示：

∵AB=BC=4，∠ABC=90°，

∴S△ABC=ABBC=×4×4=8，

∵四邊形ABCD的面積為12，

∴S△ADC=4．

∵AD∥BC，

∴S△ADC=ADAB=4，即×4×AD=4．

∴AD=2．

∵△BPC∽△ADC，

∴，

即．

解得BP=．

∴⊙B的半徑為．

（3）如圖2所示：

∵BP=2，由（2）可知AD：BP=：1，

∴AD=2．

∴D在以A為圓心，以2為半徑的圓上．

∵△BPC∽△ADC，

∴∠PBC=∠DAC．

∵當點P與點E重合時，∠PBC=90°．

∴∠DAC=90°．

當點P′C與圓B相切時，∠BP′C=90°，BP′=2，BC=4，

∴∠P′BC=60°．

span>∴∠D′AC=60°．

∴∠D′AD=90°﹣60°=30°．

∴點D運動的路線長==．