Question

（2013•貴陽）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a²+b²=c²時，△ABC是直角三角形；當a²+b²≠c²時，利用代數式a²+b²和c²的大小關系，探究△ABC的形狀（按角分類）．
（1）當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為

銳角

三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為

鈍角

三角形．
（2）猜想，當a²+b²

＞

c²時，△ABC為銳角三角形；當a²+b²

＜

c²時，△ABC為鈍角三角形．
（3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可；
（2）根據（1）中的計算作出判斷即可；
（3）根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．

解答：解：（1）兩直角邊分別為6、8時，斜邊=

62+82

=10，
∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形；
當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：銳角；鈍角；

（2）當a²+b²＞c²時，△ABC為銳角三角形；
當a²+b²＜c²時，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：＞；＜；

（3）∵c為最長邊，2+4=6，
∴4≤c＜6，
a²+b²=2²+4²=20，
①a²+b²＞c²，即c²＜20，0＜c＜2

5

，
∴當4≤c＜2

5

時，這個三角形是銳角三角形；
②a²+b²=c²，即c²=20，c=2

5

，
∴當c=2

5

時，這個三角形是直角三角形；
③a²+b²＜c²，即c²＞20，c＞2

5

，
∴當2

5

＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．

點評：本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數量關系是解題的關鍵．