Question

【題目】已知直線l1∥l2 ， A是l1上一點，B是l2上一點，直線l3和直線l1 ， l2交于點C和D，在直線CD上有一點P
（1）如果P點在C、D之間運動時，問∠PAC、∠APB、∠PBD有怎樣的數量關系？請說明理由．
（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）解：∠PAC+∠PBD=∠APB．

過點P作PE∥l1，如圖1所示．

∵PE∥l1，l1∥l2，

∴PE∥l1∥l2，

∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，

∵∠APB=∠APE+∠BPE，

∴∠PAC+∠PBD=∠APB

（2）解：過點P作PE∥l1．

當點P在直線l1上方時，如圖2所示．

∵PE∥l1，l1∥l2，

∴PE∥l1∥l2，

∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，

∵∠APB=∠BPE﹣∠APE，

∴∠PBD﹣∠PAC=∠APB．

當點P在直線l2下方時，如圖3所示．

∵PE∥l1，l1∥l2，

∴PE∥l1∥l2，

∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，

∵∠APB=∠APE﹣∠BPE，

∴∠PAC﹣∠PBD=∠APB

【解析】（1）過點P作PE∥l1 ， 由“平行與同一條直線的兩直線平行”可得出PE∥l1∥l2 ， 再由“兩直線平行，內錯角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根據角與角的關系即可得出結論．（2）按點P的兩種情況分類討論：過點P作PE∥l1 ， 由“平行與同一條直線的兩直線平行”可得出PE∥l1∥l2 ， 再由“兩直線平行，內錯角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根據角與角的關系即可得出結論．
【考點精析】利用平行線的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．