Question

（2013•宜興市一模）如圖1，BA⊥MN，垂足為A，BA=4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點C作CD⊥MN，垂足為D，設AP=x．
（1）CD的長度是否隨著x的變化而變化？若變化，請用含x的代數式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度．
（2）△PBC的面積是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值，并求出此時的x的值；若不存在，請說明理由．
（3）當x取何值時，△ABP和△CDP相似．  
（4）如圖2，當以C為圓心，以CP為半徑的圓與線段AB有公共點時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，延長CB和PA，記交點為點Q．根據等腰△QPC“三合一”的性質證得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的對應邊成比例得到

AB

CD

=

QB

QC

=

1

2

，則CD=2AB；
（2）如圖2，過點B作BF⊥PC，垂足為F．證BF=BA=4．因為CP≥CD，所以CP最小值為8，得出△PBC面積的最小值，此時△BAP是等腰直角三角形，AP=AB=4，進而得出答案；
（3）當△BAP∽△CDP時，易得∠BPA=60°，x=AP=

BA

tan60°

=

4 3

3

，當△BAP∽△PDC時，易得∠BPA=30°，AP=

BA

tan300

=4

3

，求出x的值即可；
（4）根據當點A在⊙C上時，由（1）及垂徑定理得：AE=AD=DP=

1

2

x，進而得出x的取值范圍．

解答：解：（1）CD的長度不變化．
理由如下：
如圖1，延長CB和PA，記交點為點Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性質）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴

AB

CD

=

QB

QC

=

1

2

∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8

（2）如圖2，過點B作BF⊥PC，垂足為F．
∵∠BPC=∠BPA，BA⊥MN，
∴BF=BA=4．
∵CP≥CD，∴CP≥8，即CP最小值為8，
∴△PBC面積的最小值=

1

2

×8×4=16，
此時△BAP是等腰三角形，AP=AB=4，即x=4；

（3）當△BAP∽△CDP時，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=

BA

tan60°

=

4 3

3

，
即x=

4 3

3

，
如圖3，當△BAP∽△PDC時，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=

BA

tan300

=4

3

，
即x=4

3

，
所以當x=

4 3

3

或4

3

時，△ABP和△CDP相似；

（4）如圖4，延長CB和PA相交于點E，
當點A在⊙C上時，由（1）及垂徑定理得：
AE=AD=DP=

1

2

x，
由△ABE∽△APB得，AB²=AE•AP，
所以  

1

2

x²=16，即x=4

2

，
所以x的取值范圍是0＜x≤4

2

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和銳角三角函數關系等知識，熟練利用相似三角形的性質得出線段之間的關系是解題關鍵．