Question

平面直角坐標系與線段和的最值問題：
（1）已知點M（3，2），N（1，-1），點P在y軸上，求使得△PMN的周長最小的點P的坐標；
（2）等腰梯形ABCD放置在如圖所示的直角平面坐標系中，已知CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=

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，直線AC交y軸于E，動點P在線段EC上運動，求點P到y軸的距離與點P到點N（2，6）的距離之和的最小值，并求出此時的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）畫出直角坐標系，描出M、N兩點，再作出M關于y軸的對稱點M′，連接NM′，與y軸相交于點P，則P點即為所求，用待定系數法求出過NM′兩點直線的解析式，再求出直線與y軸的交點即為P點的坐標；
（2）作出點N關于直線AE的對稱點N′，CH⊥AB，過N′向y軸作垂線，交y軸于點Q，交直線AF于點P，則QN′即為點P到y軸的距離與點P到點N的距離之和的最小值，分別求出A、B、C、D四點的坐標，用待定系數法求出直線AE的解析式，根據線段對稱的性質即可求出N′的坐標，由N′點的坐標設出P點坐標，代入直線AC的解析式即可．

解答：解：（1）如圖所示，作出M關于y軸的對稱點M′，連接NM′，與y軸相交于點P，則P點即為所求，
設過NM′兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2=-3k+b -1=k+b

，解得k=-

3

4

，b=-

1

4

，
故此一次函數的解析式為y=-

3

4

x-

1

4

，
因為b=-

1

4

，所以P點坐標為（0，-

1

4

）；

（2）作出點N關于直線AE的對稱點N′，CH⊥AB，過N′向y軸作垂線，交y軸于點Q，交直線AF于點P，則QN′即為點P到y軸的距離與點P到點N的距離之和的最小值，
∵等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=

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，
∴OA=HB=1，
∴A（-1，0），B（4，0）
∴CH=

BC2-HB2

=

( 17 )2-12

=4，
∴D（0，4）、C（3，4），
設直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4=3k+b 0=-k+b

，解得k=1，b=1，
∴直線AE的解析式為y=x+1，
∴N′點的坐標為（5，3），
∴QN′=5；
設P點坐標為（a，3），代入直線y=x+1得，3=a+1，解得a=2，
∴P點坐標為（2，3）．

點評：本題考查的是最短路線問題及用待定系數法求一次函數的解析式、梯形的性質，難度較大．