Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點C（0，4），

∴c=4 ①．

∵對稱軸x=﹣ =1，

∴b=﹣2a ②．

∵拋物線過點A（﹣2，0），

∴0=4a﹣2b+c ③，

由①②③解得，a=﹣ ，b=1，c=4，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4

（2）解：方法一：假設存在滿足條件的點F，如圖所示，連結BF、CF、OF，過點F作FH⊥x軸于點H，FG⊥y軸于點G．

設點F的坐標為（t，﹣ t2+t+4），其中0＜t＜4，

則FH=﹣ t2+t+4，FG=t，

∴S△OBF= OBFH= ×4×（﹣ t2+t+4）=﹣t2+2t+8，

S△OFC= OCFG= ×4×t=2t，

∴S四邊形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12．

令﹣t2+4t+12=17，

即t2﹣4t+5=0，

則△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，

∴方程t2﹣4t+5=0無解，

故不存在滿足條件的點F

方法二：

∵B（4，0），C（0，4），

∴lBC：y=﹣x+4，

過F點作x軸垂線，交BC于H，設F（t，﹣ t2+t+4），

∴H（t，﹣t+4），

∵S四邊形ABFC=S△ABC+S△BCF=17，

∴ （4+2）×4+ （﹣ t2+t+4+t﹣4）×4=17，

∴t2﹣4t+5=0，

∴△=（﹣4）2﹣4×5＜0，

∴方程t2﹣4t+5=0無解，故不存在滿足條件的點F

（3）解：方法一：設直線BC的解析式為y=kx+n（k≠0），

∵B（4，0），C（0，4），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

由y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴頂點D（1， ），

又點E在直線BC上，則點E（1，3），

于是DE= ﹣3= ．

若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，因為DE∥PQ，只須DE=PQ，

設點P的坐標是（m，﹣m+4），則點Q的坐標是（m，﹣ m2+m+4）．

① 當0＜m＜4時，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，

由﹣ m2+2m= ，

解得：m=1或3．

當m=1時，線段PQ與DE重合，m=1舍去，

∴m=3，P1（3，1）．

②當m＜0或m＞4時，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m，

由 m2﹣2m= ，

解得m=2± ，經檢驗適合題意，

此時P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）．

綜上所述，滿足題意的點P有三個，分別是P1（3，1），P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）

方法二：

∵DE∥PQ，

∴當DE=PQ時，以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

∵y=﹣ x2+x+4，

∴D（1， ），

∵lBC：y=﹣x+4，

∴E（1，3），

∴DE= ﹣3= ，

設點F的坐標是（m，﹣m+4），則點Q的坐標是（m，﹣ m2+m+4），

∴|﹣m+4+ m2﹣m﹣4|= ，

∴ m2﹣2m= 或 m2﹣2m=﹣ ，

∴m=1，m=3，m=2+ ，m=2﹣ ，

經檢驗，當m=1時，線段PQ與DE重合，故舍去．

∴P1（3，1），P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）．

【解析】方法一：（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由拋物線的對稱軸x=﹣ =1，得到b=﹣2a②，拋物線過點A（﹣2，0），得到0=4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣ ，b=1，c=4，即可求出拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4；（2）假設存在滿足條件的點F，連結BF、CF、OF，過點F作FH⊥x軸于點H，FG⊥y軸于點G．設點F的坐標為（t，﹣ t2+t+4），則FH=﹣ t2+t+4，FG=t，先根據三角形的面積公式求出S△OBF= OBFH=﹣t2+2t+8，S△OFC= OCFG=2t，再由S四邊形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC ， 得到S四邊形ABFC=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，由△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5=0無解，即不存在滿足條件的點F；（3）先運用待定系數法求出直線BC的解析式為y=﹣x+4，再求出拋物線y=﹣ x2+x+4的頂點D（1， ），由點E在直線BC上，得到點E（1，3），于是DE= ﹣3= ．若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，因為DE∥PQ，只須DE=PQ，設點P的坐標是（m，﹣m+4），則點Q的坐標是（m，﹣ m2+m+4）．分兩種情況進行討論：①當0＜m＜4時，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，解方程﹣ m2+2m= ，求出m的值，得到P1（3，1）；②當m＜0或m＞4時，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m，解方程 m2﹣2m= ，求出m的值，得到P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）．方法二：（1）略．（2）利用水平底與鉛垂高乘積的一半，可求出△BCF的面積函數，進而求出點F坐標，因為，所以無解．（3）因為PQ∥DE，所以只需PQ=AC即可，求出PQ的參數長度便可列式求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握平行四邊形的判定(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)的相關知識才是答題的關鍵．